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第 2 节 形象思维（第4页）

我们猜想对于直角三角形，有a*a+b*b=c*c

我们可以尝试再找例子进行验证，但这些都是有限的情况。如果保证对所有的直角三角形，这一关系都成立呢？这就需要证明。

这个定理有很多的证法，其中一个普遍的思路，是把代数等式证明，转化为面积相等问题。

例如下图所示，证明两个正方形面积之和等于第三个正方形。

其实这个可以从观察等式中看出，a*a的一个几何意义，是长度为a的正方形面积。

尽管在人类不同的文明中，都发现了勾股定律的现象。但是数学证明这种思维，却是古代希腊人独特的贡献。

克莱因说，「希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何。但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论」

数学证明引发的谋杀案

在证明了毕达哥拉斯定理之后，传说毕达哥拉斯学派欣喜若狂，杀了100头牛祭祀庆祝。

然而，好景不长。这个定理的证明，对于毕达哥拉斯学派而言，如同打开了潘多拉的魔盒。它释放出了一个幽灵，引发了一场恐慌，并且产生了大概是人类历史上，第一次因为解出了数学题，而导致被杀人灭口的谋杀事件。

这个幽灵是什么呢？

如果我们做一个直角边长为1的等腰直角三角形。

那么根据毕达哥拉斯定理，有1*1+1*1=c*c

化简之后可得c*c=2。

前面我们谈到，毕达哥拉斯学派信仰「万物皆数」。他们认为，任何事物，都可以表达为整数，或者整数的比。

首先，c不是一个整数（1之后的最小整数是2，而c大于1小于2）。

那么，按照毕达哥斯拉的理念，c应该可以表达为两个整数之比。

然而，在毕达哥拉斯学派中，有一个人叫做希帕苏斯。他证明，这个c不能表达为整数之比。

他是如何证明的呢？

反证法的应用

希帕苏斯使用了反证法。

他首先假设，c能够表达为两个整数之比，也就是假设c=pq（这里p、q互质，否则还是可以化简得到一个互质的p、q形式）。

这样一来，（pq）*（pq）=2，化简之后得到p*p=2*q*p。

因为p和q互质，那么p、q最多只能有一个偶数（否则还可以继续化简）。

又因为p*p=2*q*q，也就是说p*p必然是偶数，那么p必然是偶数。

这样一来，q就必然是奇数。

既然q是奇数，等式的右边（2*q*q），一共就只有一个2的因子。

然而，在等式的左边，因为p是偶数，那么p至少有一个2的因子。p*p至少有两个2的因子。

这样一来，等式左边和右边不能相等。

因此，我们最开始的假设（c能够表达为两个整数之比）是错误的，c不能表达为两个整数之比。

这是一个非常漂亮的证明。希帕苏斯使用的，是一些基本的整数和运算性质，例如奇偶性、整数的因数。反证法的应用很精彩。

这里又要强调了，在这个证明中，计算非常简单，重点是在研究数的性质，进行逻辑推理，又是一个智能导向的活动。这是希腊「算术」的基本精神。

狂热的信仰

希帕苏斯的证明非常漂亮，无懈可击。

然而这个证明，直接跟毕达哥拉斯学派的基本理念相冲突。

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